Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜），若函数y=f（x）与x轴的任意两个相邻交点间的距离为，
且直线x=是函数y=f（x）图象的一条对称轴．
（1）求ω的值；
（2）求y=f（x）的单调递增区间；
（3）若x∈[-，]，求y=f（x）的值域．

Answer 1

解：（1）函数y=f（x）与x轴的任意两个相邻交点间的距离为，所以函数的周期是：T=π，所以ω==2
（2）直线x=是函数y=f（x）图象的一条对称轴，|φ|＜，所以 φ=，函数的解析式是：y=sin（2x+）
因为2x+∈[-+2kπ，+2kπ]k∈Z，所以，x∈[k，k]k∈Z 所以函数的单调增区间为：[k，k]k∈Z．
（3）x∈[-，]，所以2x+∈[-，]，所以sin（2x+）∈[-，1]
函数的值域为：[-，1]
分析：（1）依题意求出函数的周期，利用周期公式求出ω；
（2）利用直线x=是函数y=f（x）图象的一条对称轴．求出φ，得到函数的解析式，通过正弦函数的单调增区间，求出函数y=f（x）的单调递增区间；
（3）通过x∈[-，]，求出ωx+φ的范围，然后求y=f（x）的值域．
点评：本题是基础题，考查三角函数的解析式的求法，三角函数的基本性质，对称性、周期性、单调性、值域等等，考查计算能力，常考题型．