题目内容
已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ，an+1=| 2 | 3 |
其中λ为实数，n为正整数．
（1）对任意实数λ，证明：数列{an}不是等比数列；
（2）证明：当λ≠18时，数列 {bn} 是等比数列；
（3）设Sn为数列 {bn} 的前n项和，是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有Sn＞-12？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．
分析：（1）假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，由题意知（
λ-3）2=λ(
λ-4)?
λ2 -4λ+9=
λ2-4λ?9=0，矛盾．所以{an}不是等比数列．
（2）由题设条件知b1=-（λ+18）≠0．bn≠0，∴
=-
(n∈Nn)，故当λ≠-18，时，数列{bn}是以-（λ+18）为首项，-
为公比的等比数列．
（3）由题设条件得 bn=-(λ+18)•(-
)n-1，Sn=-
(λ+18)•[1-(-
)n]，由此入手能够推出存在实数λ，使得对任意正整数n，都有Sn＞-12；λ的取值范围为（-∞，-6）．
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 9 |
| 4 |
| 9 |
| 4 |
| 9 |
（2）由题设条件知b1=-（λ+18）≠0．bn≠0，∴
| bn+1 |
| bn |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
（3）由题设条件得 bn=-(λ+18)•(-
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
| 2 |
| 3 |
解答：解：（1）证明：假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，则有a22=a1a3，（2分）
即（
λ-3）2=λ(
λ-4)?
λ2-4λ+9=
λ2-4λ?9=0，矛盾．
所以{an}不是等比数列．（4分）
（2）解：因为bn+1=（-1）n+1[an+1-3（n+1）+21]=（-1）n+1（
an-2n+14）
=-
（-1）n•（an-3n+21）=-
bn（7分）
当λ≠-18时，b1=-（λ+18）≠0，由上可知bn≠0，∴
=-
（n∈N+）．（8分）
故当λ≠-18时，数列{bn}是以-（λ+18）为首项，-
为公比的等比数列（9分）
（3）当λ=-18时，bn=0，从而Sn=0．成立．（10分）
当λ≠-18时，由（Ⅱ）得bn=-(λ+18)•(-
)n-1，于是Sn=-
(λ+18)•[1-(-
)n]，（12分）
要使对任意正整数n，都有Sn＞-12．
即-
(λ+18)•[1-(-
)n]＞12?λ
-18．
令f(n)=1-(-
)n，则
当n为正奇数时，1＜f(n)≤
：
当n为正偶数时，
≤f(n)＜1，∴f(n)的最大值为f(1)=
．（16分）
于是可得λ＜20×
-18=-6．
综上所述，存在实数λ，使得对任意正整数n，都有Sn＞-12；λ的取值范围为（-∞，-6）．（18分）
即（
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 9 |
| 4 |
| 9 |
| 4 |
| 9 |
所以{an}不是等比数列．（4分）
（2）解：因为bn+1=（-1）n+1[an+1-3（n+1）+21]=（-1）n+1（
| 2 |
| 3 |
=-
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
当λ≠-18时，b1=-（λ+18）≠0，由上可知bn≠0，∴
| ba+1 |
| bn |
| 2 |
| 3 |
故当λ≠-18时，数列{bn}是以-（λ+18）为首项，-
| 2 |
| 3 |
（3）当λ=-18时，bn=0，从而Sn=0．成立．（10分）
当λ≠-18时，由（Ⅱ）得bn=-(λ+18)•(-
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
| 2 |
| 3 |
要使对任意正整数n，都有Sn＞-12．
即-
| 3 |
| 5 |
| 2 |
| 3 |
| 20 | ||
1-(-
|
令f(n)=1-(-
| 2 |
| 3 |
当n为正奇数时，1＜f(n)≤
| 5 |
| 3 |
当n为正偶数时，
| 5 |
| 9 |
| 5 |
| 3 |
于是可得λ＜20×
| 3 |
| 5 |
综上所述，存在实数λ，使得对任意正整数n，都有Sn＞-12；λ的取值范围为（-∞，-6）．（18分）
点评：本题考查数列的综合应用，解题时要注意公式的灵活运用．对于证明数列不是等比数列的问题实际上不好表述，我们可以选择反证法来证明，假设存在推出矛盾．
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