Question

7．梯形ABCD中，AB∥CD，CD=2AB，AC交BD于O点，过O点的直线交AD、BC分别于E、F点，$\overrightarrow{DE}$=m$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{CF}$=n$\overrightarrow{CB}$，则$\frac{1}{2-m}$+$\frac{1}{2-n}$=（　　）

• A． 2
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 1
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 根据题意，画出图形，得出$\frac{AB}{DC}$=$\frac{AO}{OC}$=$\frac{1}{2}$，不妨设EF∥AB，则EF∥DC，由此求出m、n的值，从而计算$\frac{1}{2-m}$+$\frac{1}{2-n}$的值．

解答 解：如图所示，
梯形ABCD中，AB∥CD，CD=2AB，
则$\frac{AB}{DC}$=$\frac{AO}{OC}$=$\frac{1}{2}$，
不妨设EF∥AB，则EF∥DC；
所以$\frac{AE}{ED}$=$\frac{AO}{OC}$=$\frac{1}{2}$，
所以$\overrightarrow{DE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{DA}$，同理$\overrightarrow{CF}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CB}$；
又$\overrightarrow{DE}$=m$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{CF}$=n$\overrightarrow{CB}$，
所以m=n=$\frac{2}{3}$，
所以$\frac{1}{2-m}$+$\frac{1}{2-n}$=$\frac{1}{2-\frac{2}{3}}$+$\frac{1}{2-\frac{2}{3}}$=$\frac{3}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了梯形的性质与应用问题，也考查了平面向量的应用问题，解题时应用特殊值法，是基础题目．