Question

15．如图，AB是⊙O的直径，点C是弧$\widehat{AB}$上一点，VC垂直⊙O所在平面，D，E分别为VA，VC的中点．
（1）求证：DE⊥平面VBC；
（2）若VC=CA=6，⊙O的半径为5，求点E到平面BCD的距离．

Answer 1

分析 （1）利用圆的性质可证明：AC⊥CB．利用线面垂直的性质定理可得：VC⊥AC，于是AC⊥平面VCB．利用三角形中位线定理可得DE∥AC，即可证明DE⊥平面VCB．
（2）设点E到平面BCD的距离为d，利用V_E-BCD=V_B-CDE解出即可得出．

解答 （1）证明：∵AB是⊙O的直径，C是弧AB上一点，∴AC⊥CB．
又∵VC垂直⊙O所在平面，∴VC⊥AC，∴AC⊥平面VCB．
又∵D，E分别为VA，VC的中点，∴DE∥AC，
∴DE⊥平面VCB．
（2）解：设点E到平面BCD的距离为d，
由V_E-BCD=V_B-CDE得$\frac{1}{3}d•{S_{△BCD}}=\frac{1}{3}×8×\frac{1}{2}×3×3$，
∴$d=\frac{{8×\frac{9}{2}}}{{\frac{1}{2}×8×3\sqrt{2}}}=\frac{9}{{3\sqrt{2}}}=\frac{3}{{\sqrt{2}}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
即点E到平面BCD的距离为$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题考查了空间位置关系、距离的计算、线面垂直、线线平行的判定、三角形中位线定理、等体积法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．