Question

16．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosα}\\{y=3+3sinα}\end{array}$，（α为参数），M是C₁上的动点，P点满足$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OM}$，P点的轨迹为曲线C₂．
（1）求C₂的参数方程；
（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=$\frac{π}{3}$与C₁的异于极点的交点为A，与C₂的异于极点的交点为B，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）设P（x，y），由P点满足$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OM}$，可得M$（\frac{x}{2}，\frac{y}{2}）$，代入曲线C₁的参数方程，可得曲线C₂的参数方程．
（2）曲线C₁的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosα}\\{y=3+3sinα}\end{array}$，利用cos²α+sin²α=1可得普通方程，利用极坐标与直角坐标互化公式可得极坐标方程．同理可得曲线C₂的极坐标方程．把射线θ=$\frac{π}{3}$分别代入上述两个极坐标方程可得：ρ₁=|OA|，ρ₂=|OB|．即可得出|AB|=|OB|-|OA|．

解答 解：（1）设P（x，y），∵P点满足$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OM}$，∴M$（\frac{x}{2}，\frac{y}{2}）$，代入曲线C₁的参数方程，可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{2}=3cosα}\\{\frac{y}{2}=3+3sinα}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=6cosα}\\{y=6+6sinα}\end{array}\right.$，（α为参数），即为C₂的参数方程．
（2）曲线C₁的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosα}\\{y=3+3sinα}\end{array}$，可得普通方程：x²+（y-3）²=9，
化为极坐标方程：ρ²-6ρsinθ=0，即ρ=6sinθ．
曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=6cosα}\\{y=6+6sinα}\end{array}\right.$，可得普通方程：x²+（y-6）²=36，
化为极坐标方程：ρ²-12ρsinθ，即ρ=12sinθ．
把射线θ=$\frac{π}{3}$分别代入上述两个极坐标方程可得：
ρ₁=6$sin\frac{π}{3}$=3$\sqrt{3}$=|OA|，ρ₂=12sin$\frac{π}{3}$=6$\sqrt{3}$=|OB|．
∴|AB|=|OB|-|OA|=3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、坐标变换、参数方程化为普通方程及其应用、极坐标方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．