Question

12．使等式$\sqrt{\frac{1+sin2θ}{1-sin2θ}}$=$\frac{1}{cos2θ}$+tan2θ成立的角θ的范围是$（-\frac{π}{4}+kπ，\frac{π}{4}+kπ）（k∈Z）$．

Answer 1

分析 根据平方关系和二倍角正弦公式化简等式左边，由同角三角函数的基本关系、二倍角的余弦公式化简等式右边，由题意和式子的特点列出不等式，由余弦函数的性质求出角θ的范围．

解答 解：$\sqrt{\frac{1+sin2θ}{1-sin2θ}}$=$\sqrt{\frac{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ+2sinθcosθ}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ-2sinθcosθ}}$
=$\sqrt{\frac{（sinθ+cosθ）^{2}}{（sinθ-cosθ）^{2}}}$=$|\frac{sinθ+cosθ}{sinθ-cosθ}|$，
且$\frac{1}{cos2θ}+tan2θ$=$\frac{1}{cos2θ}+\frac{sin2θ}{cos2θ}$=$\frac{1+sin2θ}{cos2θ}$
=$\frac{（sinθ+cosθ）^{2}}{co{s}^{2}θ-si{n}^{2}θ}$=$\frac{cosθ+sinθ}{cosθ-sinθ}$，
由题意得，$|\frac{sinθ+cosθ}{sinθ-cosθ}|$=$\frac{cosθ+sinθ}{cosθ-sinθ}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（cosθ+sinθ）（cosθ-sinθ）≥0}\\{cosθ-sinθ≠0}\\{cos2θ≠0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{cos2θ＞0}\\{cosθ≠sinθ}\end{array}\right.$，
解得，$-\frac{π}{4}+kπ＜θ＜\frac{π}{4}+kπ（k∈Z）$，
∴所求的角θ的范围是$（-\frac{π}{4}+kπ，\frac{π}{4}+kπ）（k∈Z）$，
故答案为：$（-\frac{π}{4}+kπ，\frac{π}{4}+kπ）（k∈Z）$．

点评 本题考查了同角三角函数的基本关系、二倍角的公式，以及余弦函数的性质的应用，考查化简、变形能力．