题目内容

12．设x，y，z都是正数，则三个数$x+\frac{1}{y}，y+\frac{1}{z}，z+\frac{1}{x}$（　　）
A．都大于2B．至少有一个不小于2
C．至少有一个大于2D．至少有一个不大于2

分析 利用反证法与基本不等式的性质即可得出结论．

解答 解：三个数$x+\frac{1}{y}，y+\frac{1}{z}，z+\frac{1}{x}$中至少有一个不小于2．下面利用反证法证明：
x，y，z都是正数，假设三个数$x+\frac{1}{y}，y+\frac{1}{z}，z+\frac{1}{x}$都小于2．
则6＞x+$\frac{1}{y}$+y+$\frac{1}{z}$+z+$\frac{1}{x}$=x+$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+y+$\frac{1}{z}$+z≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$+2$\sqrt{y•\frac{1}{y}}$+2$\sqrt{z•\frac{1}{z}}$=6，当且仅当x=y=z=1时取等号．
即6＞6，矛盾，
因此假设不成立，
∴三个数$x+\frac{1}{y}，y+\frac{1}{z}，z+\frac{1}{x}$中至少有一个不小于2．
故选：B．

点评 本题考查了反证法与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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