Question

4．下列四个命题中是真命题的是（　　）
①存在x∈（0，+∞），使不等武2^x＜3^x成立；
②不存在x∈（0，1），使不等式log₂x＜log₃x成立；
③对任意的x∈（0，1），不等式log₂x＜log₃x成立；
④对任意的x∈（0，+∞），不等式log₂x＜$\frac{1}{x}$成立．

• A． ①③
• B． ①④
• C． ②③
• D． ②④

Answer 1

分析 利用特殊值法可判断①②④；
③对任意的x∈（0，1），可知lnx＜0，利用对数函数的性质可得出结论

解答 解：①显然存在x∈（0，+∞），使不等武2^x＜3^x成立，故正确；
②令x=$\frac{1}{2}$，log₂x=-1，log₃x＞log₃$\frac{1}{3}$=-1＞log₂x成立，故错误；
③对任意的x∈（0，1），
0＜ln2＜ln3，
∴$\frac{1}{ln2}$＞$\frac{1}{ln3}$，
∴$\frac{lnx}{ln2}$＜$\frac{lnx}{ln3}$，即不等式log₂x＜log₃x成立，故正确；
④对任意的x∈（0，+∞），当x=16时，log₂x=4，显然不等式log₂x＜$\frac{1}{x}$成立是错误的．
故选：A．

点评 本题考查了特殊值方法的应用和对数函数的性质，属于基础题型，应熟练掌握．