Question

14．已知函数f（x）=|x+m|，g（x）=|x-2m|．
（1）若不等式f（1）+g（1）＞5成立，求实数m的取值范围；
（2）求函数f（x+m）+g（$\frac{2}{x}$）的最小值．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）由条件利用绝对值三角不等式、基本不等式，求得f（x+m）+g（$\frac{2}{x}$）的最小值．

解答 解：（1）由不等式f（1）+g（1）＞5，可得|1+m|+|1-2m|＞5，
即$\left\{\begin{array}{l}{m＜-1}\\{-1-m+1-2m＞5}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤m≤\frac{1}{2}}\\{m+1+1-2m＞5}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{m＞\frac{1}{2}}\\{m+1+2m-1＞5}\end{array}\right.$③
解①求得m＜-$\frac{5}{3}$；
解②求得m∈∅；
解③求得m＞$\frac{5}{3}$；
综上可得实数m的取值范围为{m|m＜-$\frac{5}{3}$，或m＞$\frac{5}{3}$}．
（2）函数f（x+m）+g（$\frac{2}{x}$）=|x+2m|+|$\frac{2}{x}$-2m|≥|x+2m+$\frac{2}{x}$-2m|=|x+$\frac{2}{x}$|≥2$\sqrt{2}$，
故f（x+m）+g（$\frac{2}{x}$）的最小值为2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式、基本不等式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．