题目内容
9.函数f(x)=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x,下列结论正确的是( )A. | 函数f(x)图象的一个对称中心为($\frac{π}{12}$,0) | |
B. | 函数f(x)图象的一个对称轴为x=-$\frac{π}{6}$ | |
C. | 函数f(x)图象的一个减区间为(-1,$\frac{1}{2}$) | |
D. | 函数f(x)在[-$\frac{π}{3}$,$\frac{π}{12}$]上的最大值为$\sqrt{3}$ |
分析 函数解析式提取2变形后,利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,利用正弦函数的图象和性质即可逐一判断各个选项得解.
解答 解:f(x)=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2($\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x)=2sin(2x+$\frac{π}{6}$),
由2x+$\frac{π}{6}$=kπ,k∈Z,可解得:x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$,k∈Z,故A不正确;
当x=-$\frac{π}{6}$时,f(x)=2sin(2×-$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$)=-1,故B不正确;
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$,k∈Z,可解得单调递减区间为:[kπ+$\frac{π}{6}$,kπ+$\frac{2π}{3}$],k∈Z,可得C不正确;
当x∈[-$\frac{π}{3}$,$\frac{π}{12}$]时,2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$,$\frac{π}{3}$],f(x)=2sin(2x+$\frac{π}{6}$)∈[-2,$\sqrt{3}$],故D正确.
故选:D.
点评 此题考查了两角和与差的正弦函数公式,以及周期公式的应用,考查了正弦函数的图象和性质,将函数解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键.
练习册系列答案
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20.已知a=ln$\frac{1}{2}$,b=3lg2,c=2${\;}^{-\frac{1}{2}}$,则a,b,c的大小关系为( )
A. | a<b<c | B. | a<c<b | C. | b<a<c | D. | b<c<a |
4.已知下表为定义域为R的函数f(x)=ax3+cx+d若干自变量取值及其对应函数值,为便于研究,相关函数值非整数值时,取值精确到0.01.
根据表中数据解答下列问题:
(1)函数y=f(x)在区间[0.55,0.6]上是否存在零点,写出判断并说明理由;
(2)证明:函数y=f(x)在区间[0.41,+∞)单调递减.
x | 4.25 | 1.57 | -0.61 | -0.59 | 0 | 0.42 | -0.35 | 0.56 | 0.26 | 3.27 |
y | -226.05 | -10.04 | 0.07 | 0.03 | 0 | 0.20 | -0.22 | 0.03 | 0.21 | -101.63 |
(1)函数y=f(x)在区间[0.55,0.6]上是否存在零点,写出判断并说明理由;
(2)证明:函数y=f(x)在区间[0.41,+∞)单调递减.
1.已知y=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{{e}^{x}+{e}^{-x}}$(y<1),则用含y的代数式来表示的x=( )
A. | $\frac{1+y}{1-y}$ | B. | ln$\frac{1+y}{1-y}$ | C. | $\frac{1}{2}$ln$\frac{1+y}{1-y}$ | D. | $\frac{1}{2}$ln$\frac{1-y}{1+y}$ |
19.已知全集U=R,集合 A={y|y=$\frac{4}{x}$,x>0},B={y|y=2x,x<1}则A∩(∁RB)=( )
A. | (0,2) | B. | [2,+∞) | C. | (-∞,0] | D. | (2,+∞) |