Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点。

（1）求证：PO⊥平面ABCD；
（2）求异面直线PD与CD所成角的大小；
（3）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）在△PAD中PA=PD，O为AD中点，所以PO⊥AD 又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD 平面PAD， 所以PO⊥平面ABCD。
（2）连结BO， 在直角梯形ABCD中，BC∥AD，AD=2AB=2BC 有OD∥BC且OD=BC 所以四边形OBCD是平行四边形， 所以OB∥DC 由（1）知，PO⊥OB，∠PBO为锐角， 所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角 因为AD=2AB=2BC=2 在Rt△AOB中，AB=1，AO=1 所以OB= 在Rt△POA中，因为AP=，AO=1，所以OP=1， 在Rt△PBO中，tan∠PBO= 所以异面直线PB与CD所成的角是。
（3）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为 设，则 由（2）得CD=OB= 在Rt△POC中， 所以PC=CD=DP， 由VP-DQC=VQ-PCD，得x=3/2 所以存在点Q满足题意，此时。