Question

如图，四棱锥中，，，侧面为等边三角形，．

（Ⅰ）证明：平面;
（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值．

Answer 1

 （Ⅰ）见解析（Ⅱ）

本试题主要是考查了线面垂直的问题和线面角的求解的综合运用。
（1）要证明线面垂直关键是证明线线垂直，BA垂直于平面ASD。
（2）利用等价转化思想，通过求解点到面的距离得到线面角的求解。
解：

（I）取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2，
连结SE，则
又SD=1，故，
所以为直角。     …………3分
由，
得平面SDE，所以。
SD与两条相交直线AB、SE都垂直。
所以平面SAB。   …………6分
（II）由平面SDE知，
平面平面SED。
作垂足为F，则SF平面ABCD，

作，垂足为G，则FG=DC=1。
连结SG，则，
又，
故平面SFG，平面SBC平面SFG。
作，H为垂足，则平面SBC。
，即F到平面SBC的距离为 …………………………10分
由于ED//BC，所以ED//平面SBC，E到平面SBC的距离也有
设AB与平面SBC所成的角为，
则。………………………12分