题目内容

已知双曲线x²-2y²=2的左、右焦点分别是F₁、F₂，动点P满足|PF₁|+|PF₂|=4．
（1）求动点P的轨迹E的过程．
（2）设过点F₂且不垂直与坐标轴的动直线a交轨迹E与A、B两点，试问在y轴上是否存在一点D使得以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形？若存在，试判断点D的活动范围：若不存在，试说明理由．

解：（1）双曲线的方程可化为 $\text{[math]}$ -y²=1，则|FF₂|=2 $\text{[math]}$ ，|PF₁|+|PF₂|=4＞|FF₂|，
所以点P的轨迹E是以F₁，F₂为焦点且长轴长为4的椭圆，其方程为 $\text{[math]}$ +y²=1．（3分）
（2）假设存在满足条件的点D（0，m），设直线a的方程为y=k（x- $\text{[math]}$ ）（k≠0）
代入椭圆方程得：（1+4k²）x²-8 $\text{[math]}$ k²x+12k²-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韦达定理得：x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2 $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ =（x₁，y₁-m）， $\text{[math]}$ =（x₂，y₂-m），
$\text{[math]}$ =（ x₁+x₂，y₁+y₂-2m），（6分）
又 $\text{[math]}$ =λ（1，k）（λ=x₂-x₁），
∵以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，∴（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）⊥ $\text{[math]}$
∴（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）• $\text{[math]}$ =0，即 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ -2mk=0，整理得： $\text{[math]}$ -2mk=0，（8分）
∵k≠0，∴m= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
若k＞0，则 $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ （当且仅当k= $\text{[math]}$ 时取等号），即m∈（0， $\text{[math]}$ ]（10分）
若k＜0，则 $\text{[math]}$ ≥- $\text{[math]}$ （当且仅当k=- $\text{[math]}$ 时取等号），即m∈[- $\text{[math]}$ ，0）（11分）
综上，满足条件的点D存在，其活动范围是满足- $\text{[math]}$ ≤y≤ $\text{[math]}$ 且y≠0的区域．
分析：（1）双曲线的方程可化为 $\text{[math]}$ -y²=1，则|FF₂|=2 $\text{[math]}$ ，|PF₁|+|PF₂|=4＞|FF₂|，由此知点P的轨迹E是以F₁，F₂为焦点且长轴长为4的椭圆，并能求出其方程．
（2）假设存在满足条件的点D（0，m），设直线a的方程为y=k（x- $\text{[math]}$ ），代入椭圆方程得：（1+4k²）x²-8 $\text{[math]}$ k²x+12k²-4=0，再由韦达定理结合分类讨论思想能够推导出满足条件的点D存在，其活动范围是满足- $\text{[math]}$ ≤y≤ $\text{[math]}$ 且y≠0的区域．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．