Question

15．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点P（0，$\sqrt{2}$b），点Q为椭圆E上在第一象限内的点．
（1）若△POQ为正三角形，求椭圆E的离心率；
（2）设点A（a，0），B（0，-b），若直线PQ与椭圆E有唯一的公共点．证明：OQ∥AB．

Answer 1

分析 （1）记OP的中点为T，通过点P位于椭圆外及△POQ为正三角形，可知QT为线段OP的中垂线，进而计算可得结论；
（2）通过设直线PQ的斜率为k（k＜0），联立直线PQ与椭圆E方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用△=0求出k与a、b的关系，并求出唯一解，利用斜率公式代入计算即得结论．

解答 （1）解：依题意，点P（0，$\sqrt{2}$b）位于椭圆外，
记OP的中点为T，则T（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$b），
∵△POQ为正三角形，
∴TQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OP，QT⊥OP，
∴Q（$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\sqrt{2}$b，$\frac{\sqrt{2}}{2}$b），
∴$\frac{（\frac{\sqrt{6}}{2}b）^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{（\frac{\sqrt{2}}{2}b）^{2}}{{b}^{2}}$=1，
整理得：$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
（2）证明：设直线PQ的斜率为k（k＜0），则直线PQ方程为：y=kx+$\sqrt{2}$b，
联立直线PQ与椭圆E方程，消去y，得：（k²a²+b²）x²+2$\sqrt{2}$ka²bx+a²b²=0，
∵直线PQ与椭圆E有唯一的公共点，
∴△=（2$\sqrt{2}$ka²b）²-4（k²a²+b²）a²b²=0，
整理得：k²a²=b²，解得：k=-$\frac{b}{a}$，
此时交点横坐标为：x=$\frac{-2\sqrt{2}k{a}^{2}b}{2（{k}^{2}{a}^{2}+{b}^{2}）}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
交点纵坐标为y=k•$\frac{\sqrt{2}}{2}$a+$\sqrt{2}$b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$b，
∵k_OQ=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}b-0}{\frac{\sqrt{2}}{2}a-0}$=$\frac{b}{a}$=$\frac{0-（-b）}{a-0}$=k_AB，
∴OQ∥AB．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．