Question

已知数列{a_n}，其前n项和S_n满足S_n+1=2λS_n+1（λ是大于0的常数），且S₁=1，S₃=7．
（1）求λ的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设数列{na_n}的前n项和为T_n，试比较

Tn

2

与S_n的大小．

Answer 1

分析：（1）由S_n+1=2λS_n+1，得S₂=2λS₁+1=2λ+1，S₃=2λS₂+1=4λ²+2λ+1=7，由此可求出λ=1．
（2）由题意可知S_n+1=2S_n+1，从而数列{S_n+1}是以S₁+1=2为首项，以2为公比的等比数列，所以S_n=2ⁿ-1，由此可求数列{a_n}的通项公式；
（3）错位相消法求出数列{na_n}的前n项和为T_n，再作差比较

Tn

2

与S_n的大小．

解答：解：（1）∵S₁=1，S₃=7
∴由S_n+1=2λS_n+1，得S₂=2λS₁+1=2λ+1，S₃=2λS₂+1=4λ²+2λ+1=7
∴λ=1或λ=-

3

2

∵λ＞0，∴λ=1．（5分）
（2）∵λ=1
∴S_n+1=2S_n+1
整理得S_n+1+1=2（S_n+1），
∴数列{S_n+1}是以S₁+1=2为首项，以2为公比的等比数列，
∴S_n+1=2•2^n-1，可得S_n=2ⁿ-1，
∴a_n=S_n-S_n-1=2^n-1（n≥2），
∵当n=1时，a₁=1满足a_n=2^n-1，
∴a_n=2^n-1．（10分）
（3）Tn=1•20+2•21+3•22+…+(n-1)•2n-2+n•2n-1①
2Tn=1•2 +2•22+3•23+…+(n-2)•2n-2+(n-1)•2n-1+n•2n②
①-②得：-Tn=1+2+22+…+2n-2+2n-1-n•2n．
则Tn=n•2n-2n+1，…（11分）
∴

Tn

2

-Sn=

n•2n-2n+1

2

-(2n-1)=(n-3)•2n-1+

3

2

…（12分）
∴当n=1时，

T1

2

-S1=-

1

2

＜0．
当n=2时，

T2

2

-S2=-

1

2

＜0．
即当n=1或n=2时，

Tn

2

-Sn＜0，

Tn

2

＜Sn．…（13分）
当n≥3时，

Tn

2

-Sn＞0，

Tn

2

＞Sn．…（14分）

点评：本题考查数列性质和应用，考查错位相消法求数列的函数，考查构造法思想的运用，解题时要注意计算能力的培养