Question

已知圆C过定点F（-

1

4

，0），且与直线x=

1

4

相切，圆心C的轨迹为E，曲线E与直线l：y=k（x+1）（k∈R）相交于A、B两点．
（I）求曲线E的方程；
（II）当△OAB的面积等于

10

时，求k的值；

Answer 1

分析：（I）根据题意可知点C到定点（-

1

4

，0）和直线x=

1

4

的距离相等，根据抛物线的定义可求得点C的轨迹方程．
（II）把直线与抛物线方程联立消去x，设出点A，B的坐标，根据韦达定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，设直线l与x轴的交点为N，则N的坐标可得，进而根据S_△OAB=S_△OAN+S_△OBN求得k

解答：解：（I）由题意，点C到定点（-

1

4

，0）和直线x=

1

4

的距离相等，
所以点C的轨迹方程为y²=-x
（II）由方程组

y2=-x y=k(x+1)

消去x，整理得ky²+y-k=0
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=-

1

k

，y₁y₂=-1
设直线l与x轴的交点为N，则N（-1，0）
∵S_△OAB=S_△OAN+S_△OBN=

1

2

|ON||y₁|+

1

2

|ON||y₂|=

1

2

•1•

(y1+y2) 2-4y1y2

=

1

2

( 1 k )2+4

∵S_△OAB=

10

，求得k=±

1

6

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生对直线与圆锥曲线问题中韦达定理，平面解析几何的知识等知识的综合运用．