Question

已知圆C过定点F（-，0），且与直线x=相切，圆心C的轨迹为E，曲线E与直线l：y=k（x+1）（k∈R）相交于A、B两点．
（I）求曲线E的方程；
（II）当△OAB的面积等于时，求k的值；

Answer 1

【答案】分析：（I）根据题意可知点C到定点（-，0）和直线x=的距离相等，根据抛物线的定义可求得点C的轨迹方程．
（II）把直线与抛物线方程联立消去x，设出点A，B的坐标，根据韦达定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，设直线l与x轴的交点为N，则N的坐标可得，进而根据S_△OAB=S_△OAN+S_△OBN求得k
解答：解：（I）由题意，点C到定点（-，0）和直线x=的距离相等，
所以点C的轨迹方程为y²=-x
（II）由方程组消去x，整理得ky²+y-k=0
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=-，y₁y₂=-1
设直线l与x轴的交点为N，则N（-1，0）
∵S_△OAB=S_△OAN+S_△OBN=|ON||y₁|+|ON||y₂|=•1•=
∵S_△OAB=，求得k=
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生对直线与圆锥曲线问题中韦达定理，平面解析几何的知识等知识的综合运用．