Question

已知动圆C过定点F（1，0），且与定直线x=-1相切．
（Ⅰ） 求动圆圆心C的轨迹T的方程；
（Ⅱ）若轨迹T上有两个定点A、B分别在其对称轴的上、下两侧，且|FA|=2，|FB|=5，在轨迹T位于A、B两点间的曲线段上求一点P，使P到直线AB的距离最大，并求距离的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由抛物线的定义知，到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹为抛物线，所以动圆圆心M的轨迹为抛物线，再用求抛物线方程的方法求出轨迹C的方程即可．
（Ⅱ）由已知可得F（1，0），设A（x₁，y₁），（其中y₁＞0），通过已知条件求出A，B坐标，得到直线AB的方程，设与AB平行的直线的方程为2x+y+m=0（m≠-4）．转化为直线与抛物线相切时，切点到AB的距离最大，通过直线与抛物线方程组，求出切点坐标以及距离的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由题知意：动圆圆心C的轨迹方程为：y²=4x，
∴动圆的圆心C的轨迹T是以O（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线．
（Ⅱ）由已知可得F（1，0），设A（x₁，y₁），（其中y₁＞0），
由|FA|=2得，x₁+1=2，x₁=1，所以A（1，2），
同理可得B（4，-4），
所以直线AB的方程为：2x+y-4=0．
设与AB平行的直线的方程为2x+y+m=0（m≠-4）．
当直线与抛物线相切时，切点到AB的距离最大，
由方程组

2x+y+m=0 y2=4x

，消元得，
4x²+（4m-4）x+m²=0…*，
由△=（4m-4）²-16m²=0，得，m=

1

2

．
此时（*）式的解为x=

1

4

，切点P（

1

4

，-1），
距离最大值为：

9 5

10

．

点评：本题考查了定义法求轨迹方程，以及直线抛物线的位置关系，距离的最大值的求法，考查计算能力，做题时要认真．