题目内容
已知点F（0，1），直线l：y=-1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且
•
=
•
，动点P的轨迹为C，已知圆M过定点D（0，2），圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B两点，设|DA|=l1，|DB|=l2，则
+
的最大值为
| QP |
| QF |
| FP |
| FQ |
| l1 |
| l2 |
| l2 |
| l1 |
2
| 2 |
2
．| 2 |
分析：设出点P（x，y）代入题中向量等式，整理可得到点P轨迹C的方程为x2=4y．由此设出圆M的方程，求出A、B两点的坐标以及|DA|=l1，|DB|=l2的表达式，代入式子
+
整理后利用基本不等式求最值，即可得到答案．
| l1 |
| l2 |
| l2 |
| l1 |
解答：解：设P（x，y），则Q（x，-1），
∵
•
=
•
，∴（0，y+1）•（-x，2）=（x，y-1）•（x，-2）．
即2（y+1）=x2-2（y-1），即x2=4y，所以动点P的轨迹C的方程x2=4y．
设圆M的圆心坐标为M（a，b），则a2=4b．…①
圆M的半径为|MD|=
，圆M的方程为（x-a）2+（y-b）2=a2+（b-2）2．
令y=0，则（x-a）2+b2=a2+（b-2）2，整理得，x2-2ax+4b-4=0．…②
由①、②解得，x=a±2．
不妨设A（a-2，0），B（a+2，0），
∴l1=
，l2=
可得
+
=2
=2
，…③
当a≠0时，由③得，
+
=2
≤2
=2
，当且仅当a=±2
时等号成立．
当a=0时，由③得
+
=2
综上所述，当a=±2
时，
+
的最大值为2
．
故答案为：2
∵
| QP |
| QF |
| FP |
| FQ |
即2（y+1）=x2-2（y-1），即x2=4y，所以动点P的轨迹C的方程x2=4y．
设圆M的圆心坐标为M（a，b），则a2=4b．…①
圆M的半径为|MD|=
| a2+(b-2)2 |
令y=0，则（x-a）2+b2=a2+（b-2）2，整理得，x2-2ax+4b-4=0．…②
由①、②解得，x=a±2．
不妨设A（a-2，0），B（a+2，0），
∴l1=
| (a-2)2+4 |
| (a+2)2+4 |
| l1 |
| l2 |
| l2 |
| l1 |
|
1+
|
当a≠0时，由③得，
| l1 |
| l2 |
| l2 |
| l1 |
1+
|
1+
|
| 2 |
| 2 |
当a=0时，由③得
| l1 |
| l2 |
| l2 |
| l1 |
综上所述，当a=±2
| 2 |
| l1 |
| l2 |
| l2 |
| l1 |
| 2 |
故答案为：2
| 2 |
点评：本小题主要考查圆的方程、抛物线方程与简单性质、基本不等式求最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力，属于中档题．
练习册系列答案
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