Question

观察下列各不等式：

…

（1）由上述不等式，归纳出一个与正整数有关的一般性结论；

（2）用数学归纳法证明你得到的结论．

 

Answer 1

（1）且；（2）以下用数学归纳法证明这个不等式．

①当n=2时，由题设可知，不等式显然成立.

②假设当n=k时，不等式成立，即

那么，当n=k+1时，有

.

所以当n=k+1时，不等式也成立.

根据①和②，可知不等式对任何且都成立.

【解析】

试题分析：（1）由上述不等式，归纳出表达式的左侧的关系与右侧分子与分母的特征写出一个正整数，有关的一般性结论；（2）利用数学归纳法证明步骤，直接证明即可.

试题解析：（1）观察上述各不等式，得到与正整数n有关的一般不等式为

且.

（2）以下用数学归纳法证明这个不等式．

①当n=2时，由题设可知，不等式显然成立.

②假设当n=k时，不等式成立，即

那么，当n=k+1时，有

.

所以当n=k+1时，不等式也成立.

根据①和②，可知不等式对任何且都成立.

考点：归纳推理；数学归纳法.