Question

求函数f(x)=x⁴-2x²-1的极值.

Answer 1

分析:先求导数f′（x）,再求方程f′(x)=0的根，最后检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值.

解:f′(x)=4x³-4x,令f′(x)=0,得x₁=-1,x₂=0,x₃=1.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x	(-∞,-1)	-1	(-1,0)	0	（0，1）	1	(1,+∞)
f′(x)	-	0	+	0	-	0	+
f(x)		极小值-2		极大值-1		极小值-2

 

所以当x=-1时,函数有极小值-2；当x=0时，函数有极大值-1；当x=1时，函数有极小值-2.

黑色陷阱使f′(x)=0的点未必是极值点，但可导函数的极值点处导数必为0，极大（极小）值与最值是不同的概念，极大值不一定比极小值大.