题目内容
如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD=2．（1）若点E、F分别在棱PB、AD上，且
| PE |
| EB |
| DF |
| FA |
（2）若点G在线段PA上，且三棱锥G-PBC的体积为
| 1 |
| 4 |
分析：（1）建立空间直角坐标系，求出向量EF和向量BC及PB，利用数量积即可证明EF⊥平面PBC；
（2）求出平面的法向量，利用共线向量求出点到平面的距离的表达式，由三棱锥G-PBC的体积为
，求线段PG的长．
（2）求出平面的法向量，利用共线向量求出点到平面的距离的表达式，由三棱锥G-PBC的体积为
| 1 |
| 4 |
解答：解：（1）以点D为坐标原点，DA为x轴正方向，
DC为y轴正方向建立空间直角坐标系．
则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），P（0，0，2），
因为
=4
，
=4
，
所以F(
，0，0)，E(
，
，
)，
则
=(0，-
，-
)，
=(-1，0，0)，
=(-1，-1，2)．
•
=0，
•
=0，
即EF垂直于平面PBC中两条相交直线，所以EF⊥平面PBC．
法二（1）
=(1，0，-2)，可设
=λ
(0≤λ≤1)，
所以向量
的坐标为（λ，0，-2λ），
平面PBC的法向量为
=(0，-
，-
)．
•
=0 ，
•
=0，
即EF垂直于平面PBC中两条相交直线，所以EF⊥平面PBC．
（2）
=(1，0，-2)，可设
=λ
(0≤λ≤1)，
所以向量
的坐标为（λ，0，-2λ），
平面PBC的法向量为
=(0，-
，-
)．
点G到平面PCE的距离d=
=
=
．
△PBC中，BC=1，PB=
，PB=
，
所以S△PBC=
．
三棱锥G-PBC的体积V=
S△PBC• d=
•
•
=
=
，
∴λ =
．
此时向量
的坐标为(
，0，-
)，|
| =
，
即线段PG的长为
．
DC为y轴正方向建立空间直角坐标系．
则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），P（0，0，2），
因为
| PE |
| EB |
| DF |
| FA |
所以F(
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
则
| EF |
| 4 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| BC |
| PB |
| EF |
| BC |
| EF |
| PB |
即EF垂直于平面PBC中两条相交直线，所以EF⊥平面PBC．
法二（1）
| PA |
| PG |
| PA |
所以向量
| PG |
平面PBC的法向量为
| EF |
| 4 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| EF |
| BC |
| EF |
| PB |
即EF垂直于平面PBC中两条相交直线，所以EF⊥平面PBC．
（2）
| PA |
| PG |
| PA |
所以向量
| PG |
平面PBC的法向量为
| EF |
| 4 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
点G到平面PCE的距离d=
|
| ||||
|
|
| ||||
|
| 2λ | ||
|
△PBC中，BC=1，PB=
| 5 |
| 6 |
所以S△PBC=
| ||
| 2 |
三棱锥G-PBC的体积V=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| ||
| 2 |
| 2λ | ||
|
| λ |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
∴λ =
| 3 |
| 4 |
此时向量
| PG |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
| PG |
3
| ||
| 4 |
即线段PG的长为
3
| ||
| 4 |
点评：本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．
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