Question

设等比数列{a_n}满足公比q∈N^*，a_n∈N^*，且{a_n}中的任意两项之积也是该数列中的一项，若a₁=2⁸¹，则q的所有可能取值的集合为

{2⁸¹，2²⁷，2⁹，2³，2}

．

Answer 1

分析：依题意可求得该等比数列的通项公式a_n，设该数列中的任意两项为a_m，a_t，它们的积为a_p，求得q=2

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p-m-t+1

，分析即可．

解答：解：由题意，a_n=2⁸¹q^n-1，设该数列中的任意两项为a_m，a_t，它们的积为a_p，
则为a_m•a_t=a_p，即2⁸¹q^m-1•2⁸¹q^t-1=2⁸¹•q^p-1，（q，m，t，p∈N^*），
∴q=2

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p-m-t+1

，
故p-m-t+1必是81的正约数，
即p-m-t+1的可能取值为1，3，9，27，81，
即

81

p-m-t+1

的可能取值为1，3，9，27，81，
所以q的所有可能取值的集合为{2⁸¹，2²⁷，2⁹，2³，2}

点评：本题考查等比数列的通项公式，依题意求得q=2

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p-m-t+1

是难点，分析得到p-m-t+1必是81的正约数是关键，考查分析与运算能力，属于难题．