Question

设等比数列{a_n}满足：S_n=2ⁿ+a（n∈N₊）．
（I）求数列{a_n}的通项公式，并求最小的自然数n，使a_n＞2010；
（II）数列{b_n}的通项公式为b_n=-

n

an

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）a₁=2+a，a_n=S_n-S_n-1=2^n-1，{a_n}为等比数列，能导出其通项公式为a_n=2^n-1．令2^n-1＞2010，又n∈N₊，由此能求出最小的自然数n=12．
（II）Tn=-(1•1+2•

1

2

+3•

1

22

++n•

1

2n-1

)，

1

2

Tn=-[1•

1

2

+2•

1

22

+(n-1)

1

2n-1

+n•

1

2n

]，再由错位相减法可求出T_n．

解答：解：（I）当n=1时，a₁=2+a当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2^n-1（3分）
∵{a_n}为等比数列，
∴a₁=2+a=2^1-1=1，
∴a=-1
∴{a_n}的通项公式为a_n=2^n-1（5分）
令2^n-1＞2010，又n∈N₊，
∴n≥12．
∴最小的自然数n=12（7分）
（II）bn=-

n

an

=-

n

2n-1

，Tn=-(1•1+2•

1

2

+3•

1

22

++n•

1

2n-1

)①（9分）

1

2

Tn=-[1•

1

2

+2•

1

22

+(n-1)

1

2n-1

+n•

1

2n

]②
②-①得-

1

2

Tn=1+

1

2

+

1

22

++

1

2n-1

-n•

1

2n

，
∴Tn=

n+2

2n-1

-4（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法和数列的求和，解题时要认真挖掘题设中的隐含条件，合理求解．