Question

集合A={x||x-2|+|x|≤a}，B={x|log3

1

1+x

＜1}
（Ⅰ）若a=4，求A∩B；
（Ⅱ）若A⊆B，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）a=4，||x-2|+|x|≤4，分x＞2，x＜2，x=2求出集合A，求出集合B，可求A∩B；
（Ⅱ）利用（1）若a＜2，a=2，a＞2，结合A⊆B，求a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）若a=4，则|x-2|+|x|≤4，不等式可化为：

x＞2 x-2+x≤4

或

0≤x≤2 2-x+x≤4

或

x＜0 2-x-x≤4

，
解得A=[-1，3]（3分）
由log3

1

1+x

＜1得0＜

1

1+x

＜3，解得B=(-∞，-1)∪(-

2

3

，+∞)（5分）
A∩B=(-

2

3

，3]（6分）
（Ⅱ）由于|x-2|+|x|的最小值为2，且A⊆B，
①若a＜2，则A=∅，A⊆B显然成立；
②若a=2，则A=[0，2]，A⊆B也成立；（9分）
③若a＞2，则不等式可化为：

x＞2 x-2+x≤a

或

0≤x≤2 2-x+x≤a

或

x＜0 2-x-x≤a

，
解得A=[1-

a

2

，1+

a

2

]，
∵A⊆B，∴1-

a

2

＞-

2

3

或1+

a

2

＜-1（舍去）
解得2＜a＜

10

3

（13分）
综上，a＜

10

3

（14分）

点评：本题考查绝对值不等式的解法，集合的包含关系判断及应用，交集及其运算，对数函数的单调性与特殊点，考查计算能力，是中档题．