Question

设双曲线与椭圆有共同的焦点,它们的交点中一个交点的纵坐标为4,求双曲线的方程.

Answer 1

分析：双曲线与椭圆有共同的焦点,可对双曲线定位及求得c,由c²=a²+b²,因而再有一个条件即可求得方程,可求出交点,联立方程组求a²,b²,或利用双曲线的定义求a,

解法一：

椭圆的两个焦点为F₁(0,-3)、F₂(0,3),双曲线与椭圆的一个交点为A(,4).

设双曲线的方程为(a＞0,b＞0),

由方程组

得

∴双曲线的方程为

解法二：

F₁(0,-3)、F₂(0,3)、A(,4)的得出同解法一.

设双曲线的方程为(a＞0,b＞0),则

2a=||AF₁|-|AF₂||

∴a=2,b²=c²-a²=3²-2²=5.

∴双曲线的方程为

解法三：

设双曲线的方程为                       ①

将A(,4)代入①,得λ₁=32,λ₂=0(舍去).

∴双曲线的方程为

绿色通道：

本题给出了三种解法,前两种为常规方法,第三种方法是抓住与椭圆有公共的焦点这个条件来设双曲线方程.