Question

如图，正四棱锥中，侧棱与底面所成角的正切值为．
（1）求侧面与底面所成二面角的大小；
（2）若E是PB中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值．

Answer 1

（1）连结AC，BD交于点O，连结PO，则PO⊥面ABCD，       
∴ ∠PAO就是PA与底面ABCD所成的角，∴ tan∠PAO=．        
设AB=1，则PO=AOtan∠PAO =．    
设F为AD中点，连FO、PF，
易知OF⊥AD，PF⊥AD，所以∠PAO就是侧面PAD与底面ABCD所成二面角的平面角．
在Rt中，，
∴，即侧面PAD与底面ABCD所成二面角的大小为；
（2）连结EO，由于O为BD中点，E为PD中点，所以  ．
∴ 就是异面直线PD与AE所成的角．                      
在Rt中，．∴．      
由，可知面．所以，       
在Rt中，，
即异面直线PD与AE所成角的正切值为．

略