Question

11．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，M为C上除长轴顶点外的一动点，以M为圆心，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$为半径作圆，过原点O作圆M的两条切线，A、B为切点，当M为短轴顶点时∠AOB=$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的右焦点为F，过点F作MF的垂线交直线x=$\sqrt{2}$a于N点，判断直线MN与椭圆的位置关系．

Answer 1

分析 （I）利用△OMA（△OMB）为等腰直角三角形，求出b=1，通过离心率求解a，然后求解椭圆方程．
（II）（i）MF垂直于x轴，验证直线MN与椭圆相切；
（ii）MF不垂直于x轴，设M（x₀，y₀），则${k_{MF}}=\frac{y_0}{{{x_0}-1}}，{k_{NF}}=\frac{{1-{x_0}}}{y_0}$，转化求解直线MN方程，与椭圆方程联立，转化证明直线MN与椭圆相切．

解答 解：（I）由题意，△OMA（△OMB）为等腰直角三角形，因为圆M的半径为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，所以b=1，
又因为$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，所以$a=\sqrt{2}$，此时椭圆的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（II）（i）MF垂直于x轴，则$M（{1，±\frac{{\sqrt{2}}}{2}}），N（{2，0}），{k_{MN}}=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
此时直线MN的方程为$y=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}（{x-2}）$，代入椭圆方程得：x²-2+1=0，
所以直线MN与椭圆相切；
（ii）MF不垂直于x轴，设M（x₀，y₀），则${k_{MF}}=\frac{y_0}{{{x_0}-1}}，{k_{NF}}=\frac{{1-{x_0}}}{y_0}$，
直线NF的方程$y=\frac{{1-{x_0}}}{y_0}（{x-1}）$，令x=2，解得$y=\frac{{1-{x_0}}}{y_0}$，即得$N（{2，\frac{{1-{x_0}}}{y_0}}）$．${k_{MN}}=\frac{{\frac{{1-{x_0}}}{y_0}-{y_0}}}{{2-{x_0}}}=\frac{{1-{x_0}-{y_0}^2}}{{（{2-{x_0}}）{y_0}}}$，由M（x₀，y₀）在椭圆上，得${y_0}^2=1-\frac{x_0^2}{2}$，
代入${k_{MN}}=\frac{{1-{x_0}-{y_0}^2}}{{（{2-{x_0}}）{y_0}}}=\frac{{1-{x_0}-（{1-\frac{x_0^2}{2}}）}}{{（{2-{x_0}}）{y_0}}}=-\frac{x_0}{{2{y_0}}}$．
得直线MN方程为$y-{y_0}=-\frac{x_0}{{2{y_0}}}（{x-{x_0}}）$，
与椭圆方程联立得：$\left\{\begin{array}{l}y-{y_0}=-\frac{x_0}{{2{y_0}}}（{x-{x_0}}）\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.⇒（{1+\frac{x_0^2}{2y_0^2}}）{x^2}-2\frac{x_0}{y_0^2}x+\frac{2}{y_0^2}-2=0$，
化简得：${（{\frac{1}{y_0}x-\frac{x_0}{y_0}}）^2}=0$，所以此时直线MN与椭圆相切，
综合（i）（ii），直线MN与椭圆相切．

点评 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．