Question

在极坐标系内，已知曲线C₁的方程为ρ²-2ρ（cosθ-2sinθ）+4=0，以极点为原点，极轴方向为x正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C₂的参数方程为

5x=1-4t 5y=18+3t

（t为参数）．
（Ⅰ）求曲线C₁的直角坐标方程以及曲线C₂的普通方程；
（Ⅱ）设点P为曲线C₂上的动点，过点P作曲线C₁的切线，求这条切线长的最小值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：计算题,直线与圆,坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，即可得到曲线C₁的直角坐标方程，再由代入法，即可化简曲线C₂的参数方程为普通方程；
（Ⅱ）可经过圆心（1，-2）作直线3x+4y-15=0的垂线，此时切线长最小．再由点到直线的距离公式和勾股定理，即可得到最小值．

解答： 解：（Ⅰ）对于曲线C₁的方程为ρ²-2ρ（cosθ-2sinθ）+4=0，
可化为直角坐标方程x²+y²-2x+4y+4=0，
即圆（x-1）²+（y+2）²=1；
曲线C₂的参数方程为

5x=1-4t 5y=18+3t

（t为参数），
可化为普通方程为：3x+4y-15=0．
（Ⅱ）可经过圆心（1，-2）作直线3x+4y-15=0的垂线，此时切线长最小．
则由点到直线的距离公式可得d=

|3×1+4×(-2)-15|

32+42

=4，
则切线长为

16-1

=

15

．
故这条切线长的最小值为

15

．

点评：本题考查极坐标方程、参数方程和直角坐标方程、普通方程的互化，考查直线与圆相切的切线长问题，考查运算能力，属于中档题．