Question

设函数的定义域为，如果，存在唯一的，使（为常数）成立。则称函数在上的“均值”为。已知四个函数：
①；②；③；④
上述四个函数中，满足所在定义域上“均值”为１的函数是　    ．（填入所有满足条件函数的序号）

Answer 1

①③④

试题分析：根据在其定义域上均值为1的函数的定义，逐一对四个函数列出方程，解出y关于x的表达式，其中①③④在其定义域内有解，②在其定义域内无解，从而得出正确答案．
解：①对于函数 ，定义域为 ，设 ，由 ，得 ，所以
，所以函数是定义域上的“均值”为１的函数；
②对于函数 ，定义域为 ，设  ,由得：   ，
当时  ，  ，不存在实数 的值，使 ，所以该函数不是定义域上均值为1的函数；
③对于函数  ，定义域是 ，设  ，得  ，则 ，
所以该函数是定义域上的均值为1的函数；
④对于函数 ，定义域为 ，设 ,由 ，得 ，因为 所以存在实数，使得 成立，所以函数在其定义域上是均值为1的函数.