Question

已知函数（）

（1）若曲线在处的切线与直线垂直，试确定的值；并求出该曲线在点处的切线方程．

（2）若函数在时，取得极值，试确定的值，并求出的单调区间；

Answer 1

（1）；（2），增区间为：，减区间为：．

【解析】

试题分析：（1）求导，利用导数的几何意义写出切线方程，利用两直线垂直求出值，代入即可切线方程；（2）求导，先利用存在极值求得值，再利用导函数的正负求出函数的单调区间．

解题思路:利用导数的几何意义求曲线的切线方程的一般步骤：第一步，求导；第二步，求斜率；第三步，写出切线方程的点斜式方程，化成一般式方程．

试题解析：（1）由已知直线n的斜率

则与之垂直的切线m的斜率 1分

求导，得： 2分

令: 3分

解得， 4分

∴此时，，把x=1代入，

得：，则切点为（1，1） 5分

写出切线方程：即 6分

（2）求导，得： 7分

由题意（在时，取得极值），即

∴ 8分

解出： 9分

∴，

由于，函数的定义域显然为，即x>0 10分

∴时，，则原函数为增函数，时，，则原函数为减函数， 11分

∴原函数的增区间为：

原函数的减区间为：

考点：1．导数的几何意义；（2）函数的极值；3．函数的单调区间．