Question

解关于x的不等式a²x²-ax-2＞0（其中实数a为常数）

Answer 1

解：根据题意分两种情况考虑：
（i）当a=0时，原不等式化为-2＞0，显然不成立，因此不等式的解集为∅；（3分）
（ii）当a≠0时，a²＞0，
由a²x²-ax-2=（ax+1）（ax-2）得：方程a²x²-ax-2=0的两根为：，，（6分）
不等式a²x²-ax-2＞0变形为（ax+1）（ax-2）＞0，
可化为或，
则当a＞0时，解得：x＞或x＜-，
∴原不等式的解集为；
当a＜0时，解得：，
∴原不等式的解集为；
综上可知，当a=0时，原不等式的解集为?；
当a＞0时，原不等式的解集为；
当a＜0时，原不等式的解集为．（12分）
（如果学生前面表述均使用集合，也可以不进行综述．也可理解为每个解集三分．）
分析：由a为实数，可用a等于0和不等于0两种情况考虑：若a为0时，把a=0代入原不等式，显然不等式不成立，故a=0时，原不等式无解；当a不为0时，得到a²大于0，令不等式左边等于0得到一个方程，利用十字相乘法把方程的左边分解因式，求出方程的解，再分a大于0和a小于0，比较出两解的大小，利用同大取大，同小取小，大大小小无解，大小小大取中间的法则即可得到原不等式的解集，综上，得到a等于0，a大于0及a小于0时原不等式的解集．
点评：此题考查了一元二次不等式的解法，由于实数a的取值不确定，故本题利用分类讨论的思想，要求学生考虑问题要全面，不要遗漏，同时要求学生灵活运用转化的思想把一元二次不等式化为不等式组，利用不等式组取解集的方法来解决问题．