Question

设a＞0，a≠1，解关于x的不等式ax4-2x2＞(

1

a

)a2.

Answer 1

分析：本题为解数型不等式，结合指数函数的单调性，分0＜a＜1和a＞1两种情况讨论，再转化为解二次型不等式．

解答：解法一原不等式可写成ax4-2x2＞a-a2．①
根据指数函数性质，分为两种情形讨论：
（Ⅰ）当0＜a＜1时，由①式得
x⁴-2x²+a²＜0，②
由于0＜a＜1时，判别式
△=4-4a²＞0，
所以②式等价于
③④

x2＞1- 1-a2 x2＜1+ 1-a2 .

解③式得x＜-

1- 1-a2

或x＞

1- 1-a2

，
解④式得-

1+ 1-a2

＜x＜

1+ 1-a2

．
所以，0＜a＜1时，原不等式的解集为
{x|-

1+ 1-a2

＜x＜-

1- 1-a2

}∪{x|

1- 1-a2

＜x＜

1+ 1-a2

}．
（Ⅱ）当a＞1时，由①式得
x⁴-2x²+a²＞0，⑤
由于a＞1，判别式△＜0，故⑤式对任意实数x成立，即得原不等式的解集为R
综合得
当0＜a＜1时，原不等式的解集为
{x|-

1+ 1-a2

＜x＜-

1- 1-a2

}∪{x|

1- 1-a2

＜x＜

1+ 1-a2

}；
当a＞1时，原不等式的解集为R．
解法二原不等式可写成ax4-2x2＞a-a2．①
（Ⅰ）当0＜a＜1时，由①式得
x⁴-2x²+a²＜0，②
分解因式得（x²-1+

1-a2

）（x²-1-

1-a2

）＜0．③
④⑤
即

x2-1+ 1-a2 ＞0 x2-1- 1-a2 ＜0

⑥⑦
或

x2-1+ 1-a2 ＜0 x2-1- 1-a2 ＞0.

解由④、⑤组成的不等式组得
-

1+ 1-a2

＜x＜-

1- 1-a2

．
或

1- 1-a2

＜x＜

1+ 1-a2

．
由⑥、⑦组成的不等式组解集为空集；所以，0＜a＜1时，原不等式的解集为
{x|-

1+ 1-a2

＜x＜-

1- 1-a2

}∪{x|

1- 1-a2

＜x＜

1+ 1-a2

}；
（Ⅱ）当a＞1时，由①式得
x⁴-2x²+a²＞0，⑧
配方得（x²-1）²+a²-1＞0，⑨
对任意实数x，不等式⑨都成立，即a＞1时，原不等式的解集为
{x|-∞＜x＜+∞}．
综合得
当0＜a＜1时，原不等式的解集为
{x|-

1+ 1-a2

＜x＜-

1- 1-a2

}∪{x|

1- 1-a2

＜x＜

1+ 1-a2

}；
当a＞1时，原不等式的解集为{x|-∞＜x＜+∞}．

点评：本题考查指数函数的性质、解不等式等知识点，注意分类讨论．