题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中，过点
的直线l与抛物线
交于A，B两点，以AB为直径作圆，记为
,与抛物线C的准线始终相切.
（1）求抛物线C的方程；
（2）过圆心M作x轴垂线与抛物线相交于点N，求
的取值范围.
【答案】（1）
.（2）
【解析】
（1）过A，B，M分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为D，E，P，由题意转化条件得
，即可得A，B，F三点共线，即可得解；
（2）设直线
，联立方程可得
、
、
，利用弦长公式可得
，利用点到直线的距离求得高，表示出三角形面积后即可得解.
（1）证明：过A，B，M分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为D，E，P，
设抛物线焦点为F，
由题意知圆M的半径
，
且
，
即可得，所以A，B，F三点共线，即
，所以
，
所以抛物线C的方程为；
（2）由（1）知抛物线
，设直线，点
，
，
联立可得：
，
，
所以，，
所以
，
则
，
，
故点N到直线AB距离
又
，
所以
，
当
时，
取最小值为32.
故所求三角形
面积的取值范围.
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