题目内容

写出函数 $数学公式$ 的单调区间．

解：设μ= $\text{[math]}$ ，x＞0．
则原函数 $\text{[math]}$ 是函数y=-μ²+2μ+8，μ= $\text{[math]}$ 的复合函数，
因μ= $\text{[math]}$ 在（0，+∞）上是减函数，
∵函数y=-μ²+2μ+8的单调增区间（-∞，1]，单调减区间[1，+∞），
∴根据复合函数的单调性，得
①函数 $\text{[math]}$ 的单调减区间是函数y=-μ²+2μ+8的单调增区间，
由μ≤1得： $\text{[math]}$ ≤1，?x≥ $\text{[math]}$ ；
②函数 $\text{[math]}$ 的单调增区间是函数y=-μ²+2μ+8的单调减区间，
由μ≥1得： $\text{[math]}$ ≥1，?0≤x≤ $\text{[math]}$ ；
故函数 $\text{[math]}$ 的单调区间是：[ $\text{[math]}$ ，+∝），（0， $\text{[math]}$ ]．
分析：将原函数 $\text{[math]}$ 是函数：y=-μ²+2μ+8，μ= $\text{[math]}$ 的复合函数，利用对数函数与二次函数的单调性来研究即可．注意对数的真数必须大于0．
点评：本题考查复合函数的单调性，指数函数的单调性，二次函数的单调性，是基础题．复合函数的单调性一般是看函数包含的两个函数的单调性（1）如果两个都是增的，那么函数就是增函数（2）一个是减一个是增，那就是减函数（3）两个都是减，那就是增函数．