Question

已知函数f（x）=log_0.5^{（2sinx-1）}．
（Ⅰ）写出它的值域．
（Ⅱ）写出函数的单调区间．
（Ⅲ）判断它是否为周期函数？如果它是一个周期函数，写出它的最小正周期．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由-1≤sinx≤1求出真数的范围，再由y=log_0.5^x的单调性求出函数f（x）的值域；
（Ⅱ）由2sinx-1＞0和正弦曲线求出函数的定义域，再根据y=2sinx-1和y=log_0.5^x的单调性，由“同增异减”法则，求出原函数的单调区间；
（Ⅲ）根据正弦函数的周期性和最小正周期，求出此函数具有周期性和最小正周期．

解答：解：（Ⅰ）由2sinx-1＞0和-1≤sinx≤1得，

1

2

＜sinx≤1，
则0＜2sinx-1≤1，∵函数y=log_0.5^x在定义域上是减函数，
∴函数f（x）的值域是[0，+∞）；（4分）
（Ⅱ）令y=2sinx-1，由2sinx-1＞0得，sinx＞

1

2

，
解得2kπ+

π

6

＜x＜2kπ+

5π

6

，即函数的定义域是（2kπ+

π

6

，2kπ+

5π

6

）（k∈Z），
∵函数y=2sinx-1在（2kπ+

π

6

，2kπ+

π

2

]（k∈Z）上是减函数，
在[2kπ+

π

2

，2kπ+

5π

6

)（k∈Z）上是增函数；
又∵函数y=log_0.5^x在定义域上是减函数，
∴所求的减区间是（2kπ+

π

6

，2kπ+

π

2

]，增区间是[2kπ+

π

2

，2kπ+

5π

6

)
（Ⅲ）f（x）是周期函数；由y=sinx是周期函数知，此函数也是周期函数，且最小正周期是2π．

点评：本题中的函数是由对数函数和正弦函数复合而成的函数，根据真数大于零求出函数的定义域，根据正弦函数的值域和周期，求出函数的值域和周期，根据复合函数的单调性求出单调区间．