题目内容

函数f（x）=（x+a）（|x-a|+|x-2|）的图象为中心对称图形，则实数a的值为    ．
【答案】分析：函数f（x）的图象从左到右依次为一段抛物线、一条线段、一段抛物线，对称中心必须是线段的中点．线段中点的横坐标：，抛物线的对称轴为 x=，令 =，解得a的值．
解答：解：∵f（x）=（x+a）（|x-a|+|x-2|），
首先注意到，函数f（x）的图象从左到右依次为一段抛物线、一条线段、一段抛物线．
因此，图形的对称中心必须是线段的中点．（因为直线旋转180°以后只能和自己重合）
另外，两段抛物线要旋转180°以后重合，必须绕着其对称轴上的某个点旋转．
左侧的一段抛物线方程为f（x）=（x+a）（a+2-2x），对称轴为x=，
中间一条线段的方程为 f（x）=（x+a）|a-x+x-2|=（x+a）•|a-2|，线段中点的横坐标：，
右侧的一段抛物线方程为f（x）=（x+a）（2x-2-a），对称轴为x=．
令 =，解得a=-，
故答案为-．
点评：本题主要考查绝对值的函数，函数图象的对称性应用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为
2
，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
2
2
，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
定义域为R的函数f（x）满足条件：
①[f(x1)-f(x2)](x1-x2)＞0，(x1，x2∈R+，x1≠x2)；
②f（x）+f（-x）=0（x∈R）； 
③f（-3）=0．
则不等式x•f（x）＜0的解集是（　　）
已知函数f（x）=x3-2x2-4x-7．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求a＞2时，证明：对于任意的x＞2且x≠a，恒有f（x）＞f（a）+f'（a）（x-a）；
（Ⅲ）设x0是函数y=f（x）的零点，实数α满足f(α)＞0，β=α-
f(α)f′(α)
，试探究实数α、β、x0的大小关系．
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜
π
2
）的振幅为
2
，周期为π，且图象关于直线x=
π
8
对称．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）将函数y=sinx的图象作怎样的变换可以得到f（x）的图象？
设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为2
2
，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
2
2
，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

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