Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的振幅为

2

，周期为π，且图象关于直线x=

π

8

对称．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）将函数y=sinx的图象作怎样的变换可以得到f（x）的图象？

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用函数的振幅得到A，函数的周期求出ω，利用函数的对称轴求出φ，即可求f（x）的解析式；
（Ⅱ）将函数y=sinx的图象的伸缩变换，按照变换初相位，周期，振幅的顺序，直接写出变换得到f（x）的图象即可．

解答：解：（Ⅰ）：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）的振幅为

2

，∴A=

2

，周期为π，∴T=

2π

ω

=π，
∴ω=2，
∵函数f（x）=

2

sin（2x+φ）（0＜?＜

π

2

）的图象关于直线x=

π

8

对称，
∴f（

π

8

）=

2

sin（2×

π

8

+φ）=±

2

，解得2×

π

8

+φ=

π

2

+kπ，k∈Z，
又∵0＜φ＜

π

2

，
∴φ=

π

4

，
则f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)．
（Ⅱ）将y=sinx向左平移

π

4

个单位，然后纵坐标不变，横坐标压缩到原来的

1

2

倍，最后横坐标不变，纵坐标拉伸到原来的

2

倍可得f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)．

点评：本题考查三角函数的解析式的求法，三角函数的图象的平移与伸缩变换，基本知识的考查．