题目内容
【题目】分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段
的长度为a，在线段上取两个点C、D，使得
，以
为一边在线段的上方做一个正六边形，然后去掉线段，得到图2中的图形；对图二中的最上方的线段
作相同的操作，得到图3中的图形；依次类推，我们就得到了以下一系列图形；
记第n个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为
，若对任意的正整数n，都有
．则正数a的最大值为______．
【答案】
【解析】
由题意归纳可得
(
)，利用累加法可得
，进而可得
，即
，即可得解.
由题意，得图1中的线段为a，
，
图2中的正六边形边长为
，
；
图3中的最小正六边形的边长为
，
；
图4中的最小正六边形的边长为
，
；
由此类推，可知，()，
故当时，
，
当
时，
，满足上式，
所以，从而，即，
所以存在最大的正数
．满足题意．
故答案为：.
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