Question

9．已知函数y=cosx[cosx-cos（x+$\frac{π}{3}$）]．求
（1）该函数的周期；
（2）单调递减区间；
（3）最大值和最小值，并写出求得最值时的x的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得y=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{4}$，由周期公式可得；
（2）解2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$可得单调递减区间；
（3）函数最大值为$\frac{3}{4}$，函数最小值为-$\frac{1}{4}$，分别整体可得x的取值集合．

解答 解：（1）由三角函数公式化简可得y=cosx[cosx-cos（x+$\frac{π}{3}$）]
=cosx（cosx-$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）=cosx（$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）
=$\frac{1}{2}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx=$\frac{1}{4}$（1+cos2x）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x
=$\frac{1}{4}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x+$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{4}$，
∴该函数的周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，解得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，
∴函数的单调递减区间为[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z；
（3）函数最大值为$\frac{3}{4}$，此时sin（2x+$\frac{π}{6}$）=1即2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，
解得x=kπ+$\frac{π}{6}$，故此时x的取值集合为{x|x=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z}；
函数最小值为-$\frac{1}{4}$，此时sin（2x+$\frac{π}{6}$）=-1即2x+$\frac{π}{6}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，
解得x=kπ-$\frac{π}{3}$，故此时x的取值集合为{x|x=kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z}．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和单调性以及最值，属中档题．