Question

12．已知函数f（x）=log₂（2x+$\sqrt{4{x}^{2}+3t}$）为奇函数，则实数t的值为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由f（x）为奇函数便有f（-x）=-f（x），即得到$lo{g}_{2}（-2x+\sqrt{4{x}^{2}+3t}）$=$-lo{g}_{2}（2x+\sqrt{4{x}^{2}+3t}）$，分子有理化并进行对数的运算便可得到$lo{g}_{2}（3t）-lo{g}_{2}（2x+\sqrt{4{x}^{2}+3t}）$=$-lo{g}_{2}（2x+\sqrt{4{x}^{2}+3t}）$，这样便可得出3t=1，从而求出实数t的值．

解答 解：f（x）为奇函数；
∴f（-x）=-f（x）；
即$lo{g}_{2}（-2x+\sqrt{4{x}^{2}+3t}）=lo{g}_{2}\frac{3t}{2x+\sqrt{4{x}^{2}+3t}}$=$lo{g}_{2}3t-lo{g}_{2}（2x+\sqrt{4{x}^{2}+3t}）=-lo{g}_{2}（2x+\sqrt{4{x}^{2}+3t}）$；
∴log₂（3t）=0；
∴3t=1；
∴$t=\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查奇函数的定义，分子有理化和平方差公式，以及对数的运算．