题目内容
16．（Ⅰ）已知${（2x-1）^{10}}={a_0}+{a_1}（x-1）+{a_2}（x-1{）^2}+…+{a_{10}}{（x-1）^{10}}$，其中ai∈R，i=1，2，…10．（i）求a0+a1+a2+…+a10；
（ii）求a7．
（Ⅱ）2017年5月，北京召开“一带一路”国际合作高峰论坛．组委会将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到翻译、导游、礼仪、司机四个不同的岗位，每个岗位至少有一人参加，且五人均能胜任这四个岗位．
（i）若每人不准兼职，则不同的分配方案有几种？
（ii）若甲乙被抽调去别的地方，剩下三人要求每人必兼两职，则不同的分配方案有几种？
分析 （Ⅰ）（i）在（2x-1）10中，令x=2可得 a0+a1+a2+…+a10的值；
（ii）令x-1=y，得出（1+2y）10=a0+a1y+a2y2+…+a10y10，利用二项展开式的通项公式求出a7的值；
（Ⅱ）（i）先从5人中选出2人参加一个岗位，再分4组全排列；
（ii）根据题意，求出4个岗位，3人中每人身兼两职的不同分配方案．
解答 解：（Ⅰ）（i）在（2x-1）10=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+…+a10（x-1）10中，
令x=2可得 a0+a1+a2+…+a10=310，
（ii）令x-1=y，则x=y+1；
∴（1+2y）10=a0+a1y+a2y2+…+a10y10，
∴a7=C10727=15360；
（Ⅱ）（i）每个岗位至少有一人参加，每人不准兼职，则有一个岗位2人参加，
故有分配方案$C_5^2•A_4^4=240$（种）；
（ii）根据题意，4个岗位3个人参加，且每人身兼2职，不同的分配方案有
${{（C}_{4}^{2}）}^{3}$-（${C}_{4}^{2}$+${C}_{4}^{3}$•（${{（C}_{3}^{2}）}^{3}$-${C}_{3}^{2}$））=114（种）．
点评 本题考查了排列、组合，二项式定理的应用问题，是综合题．
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