Question

15．已知函数f（x）=e^x（x²+ax-a）
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）当a≤4时，求函数f（x）在[0，3]上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出a=1时，f（x）=e^x（x²+x-1），求f'（x）=e^x（x²+3x）即可；
（Ⅱ）根据a≤4，解f'（x）=0得x=0或-a-2，再分-5＜a≤-4和a≤-5两情况讨论即可．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=e^x（x²+x-1），
令f'（x）=e^x（x²+x-1）+e^x（2x+1）=e^x（x²+3x）=0，
则有x=0或x=-3，
所以f（x）在（-∞，-3）上为增函数，
在（-3，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数，
从而f（x）的极小值为f（0）=-1，f（x）的极大值为f（-3）=5e^-3；
（Ⅱ）根据题意，令f'（x）=e^x（x²+ax-a）+e^x（2x+a）=e^x[x²+（a+2）x]=0，
则x²+（a+2）x=0，
又a≤-4，故-a-2≥2，
所以x=0或x=-a-2，
易知f（x）在（-∞，0）上为增函数，
在（0，-a-2）上为减函数，在（-a-2，+∞）上为增函数，
根据a≤4，解f'（x）=0得x=0或-a-2，再分-5＜a≤-4和a≤-5两情况讨论即可．
①当-5＜a≤-4，即2≤-a-2＜3时，
f（x）在（0，-a-2）上为减函数，在（-a-2，3）上为增函数，
此时f（x）_min=f（-a-2）=e^-a-2（a+4）；
②当a≤-5，即-a-2≥3时，
f（x）在[0，3]上为减函数，
此时f（x）_min=f（3）=e³（2a+9）．

点评 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，其中解答的关键的根据已知函数的解析式，求出函数的导函数的解析式，并判断其符号．