Question

5．过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐进线，且与双曲线的两支都相交，求该双曲线离心率的范围．

Answer 1

分析 双曲线的离心率与渐近线的斜率有关，只有b＞a时，即该渐近线倾斜角大于45°时，才可能与双曲线另一支相交，由此能求出双曲线离心率的范围

解答 解：设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为（c，0），
一条渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，另一条渐近线方程为y=-$\frac{b}{a}$x，
由于双曲线的离心率与渐近线的斜率有关，
当b＜a时，即该渐近线倾斜角小于45°时，
该渐近线的垂线不可能与双曲线另一支相交，而交点在同一右支上，
当a=b时，该渐近线倾斜角等于45°时，
该渐近线的垂线与另一条渐近线平行，也不可能与双曲线另一支相交，
只有b＞a时，即该渐近线倾斜角大于45°时，才可能与双曲线另一支相交，
∴双曲线离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{a}$，
∵b＞a，∴e＞$\frac{\sqrt{2{a}^{2}}}{a}$=$\sqrt{2}$，
∴e∈（$\sqrt{2}$，+∞）．

点评 本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意双曲线的渐近线的斜率的灵活运用．