Question

已知数列{a_n}满足a1=1，an+1=2an+1(n∈N*)．
（Ⅰ）证明数列{a_n+1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=

n(an+1)

2

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（I）由数列{a_n}满足a1=1，an+1=2an+1(n∈N*)，变形为a_n+1+1=2（a_n+1），即可证明数列{a_n+1}是等比数列，利用通项公式即可得出；
（II）利用“错位相减法”即可得出．

解答：（I）证明：∵数列{a_n}满足a1=1，an+1=2an+1(n∈N*)，∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∴数列{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，2为公比的等比数列．
∴an+1=2×2n-1=2n，
∴an=2n-1．
（II）解：由（I）可知：bn=

n•2n

2

=n•2^n-1．
∴Sn=1×20+2×21+3×22+…+（n-1）•2^n-2+n•2^n-1，
2S_n=1×2+2×2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
∴-S_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=

2n-1

2-1

-n•2n=2ⁿ-1-n•2ⁿ=（1-n）•2ⁿ-1．
∴Sn=(n-1)•2n+1．

点评：本题考查了变形转化为等比数列、等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”等基础知识与基本技能方法，属于难题．