Question

已知E、F是x轴上的点，坐标原点O为线段EF的中点，G、P是坐标平面上的动点，点P在线段FG上，=10，=6，
（1）求P的轨迹C的方程；
（2）A、B为轨迹C上任意两点，且，M为AB的中点，求△OEM面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）取EG的中点为H，利用推出|PE|+|PF|=|GF|=10＞|EF|=6P点的轨迹是以E、F为焦点，长轴长为10的椭圆
设其轨迹方程为，求出a，c，b解得即可．
（2）利用
推出A、B、E三点共线，设AB所在直线方程为x=my-3，结合韦达定理，求出的表达式利用基本不等式，求出S_△DEM最大值为．
解答：解：（1）取EG的中点为H，则∴PH⊥GE∴PH是EG的垂直平分线（2分）∴|PE|=|PG|∴|PE|+|PF|=|GF|=10＞|EF|=6P点的轨迹是以E、F为焦点，长轴长为10的椭圆（4分）
设其轨迹方程为，则2a=10，a=5，2c=6，c=3，b²=a²-c²=16∴（5分）
（2）∵
∴
∴∴A、B、E三点共线
∵E（-3，0）设AB所在直线方程为x=my-3
整理关于y的方程为：（16m²+25）y²-96my-256=0（△＞0恒成立）
∴M点的纵坐标为（9分）
∴===（10分）
∴当16|m|=，即时，，S_△DEM最大值为．（12分）
点评：本题是中档题，考查向量的数量积，三角形的面积公式，韦达定理，基本不等式的应用，考查计算能力，转化思想，常考题型．