Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，以右焦点为圆心，椭圆长半轴为半径的圆与直线x+

3

y+3=0相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）E、F是椭圆C上的两个动点，A(1，

3

2

)为定点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．

Answer 1

分析：（1）设椭圆的右焦点，根据以右焦点为圆心，椭圆长半轴为半径的圆与直线x+

3

y+3=0相切，即可确定椭圆的几何量，从而可求椭圆的方程；
（2）设直线AE方程代入椭圆方程，利用点A(1，

3

2

)在椭圆上，可求E的坐标，利用直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，可求F的坐标，从而可得直线EF的斜率，问题得解．

解答：（1）解：设椭圆的右焦点为（c，0）
∵以右焦点为圆心，椭圆长半轴为半径的圆与直线x+

3

y+3=0相切
∴

|c+3|

2

=a
∵e=

1

2

，∴a=2c
∴

|c+3|

2

=2c，∴c=1
∴a=2
∴b²=a²-c²=3
∴

x2

4

+

y2

3

=1
（2）证明：设直线AE方程：得y=k(x-1)+

3

2

，
代入椭圆方程，消元可得（3+4k²）x²+4k（3-2k）x+4(

3

2

-k)2-12=0
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）．
因为点A(1，

3

2

)在椭圆上，
所以x₁=

4( 3 2 -k)2-12

3+4k2

，y₁=kx₁+

3

2

-k．
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以-k代k，
可得x₂=

4( 3 2 +k)2-12

3+4k2

，y₂=-kx₂+

3

2

+k．
所以直线EF的斜率k_EF=

y2-y1

x2-x1

=

1

2

．
即直线EF的斜率为定值，其值为

1

2

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线斜率的求解，解题的关键是直线与椭圆方程联立，确定点的坐标，属于中档题．