Question

已知E、F是x轴上的点，坐标原点O为线段EF的中点，G、P是坐标平面上的动点，点P在线段FG上，|

.

FG

|=10，|

.

EF

|=6，(

.

PE

+

1

2

.

EG

)•

.

EG

=0
（1）求P的轨迹C的方程；
（2）A、B为轨迹C上任意两点，且

.

OE

=α

.

OA

+(1-α)

.

OB

，M为AB的中点，求△OEM面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）取EG的中点为H，利用

PE

+

1

2

EG

=

PH

∴

PH

•

EG

=0推出|PE|+|PF|=|GF|=10＞|EF|=6∴P点的轨迹是以E、F为焦点，长轴长为10的椭圆
设其轨迹方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，求出a，c，b解得

x2

25

+

y2

16

=1即可．
（2）利用

OE

=α

OA

+(1-α)

OB

=α

OA

+

OB

-α

OB

推出A、B、E三点共线，设AB所在直线方程为x=my-3，结合韦达定理，求出S△DEM=

1

2

|

OE

||yM|的表达式

72

16|m|+ 25 |m|

利用基本不等式16|m|+

25

|m|

≥40，求出S_△DEM最大值为

9

5

．

解答：解：（1）取EG的中点为H，则

PE

+

1

2

EG

=

PH

∴

PH

•

EG

=0∴PH⊥GE∴PH是EG的垂直平分线（2分）∴|PE|=|PG|∴|PE|+|PF|=|GF|=10＞|EF|=6∴P点的轨迹是以E、F为焦点，长轴长为10的椭圆（4分）
设其轨迹方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，则2a=10，a=5，2c=6，c=3，b²=a²-c²=16∴

x2

25

+

y2

16

=1（5分）
（2）∵

OE

=α

OA

+(1-α)

OB

=α

OA

+

OB

-α

OB

∴

OE

-

OB

=α(

OA

-

OB

)
∴

BE

=α

BA

∴A、B、E三点共线
∵E（-3，0）设AB所在直线方程为x=my-3

x=my-3 x2 25 + y2 16 =1

整理关于y的方程为：（16m²+25）y²-96my-256=0（△＞0恒成立）
∴y1+y2=

96m

16m2+25

M点的纵坐标为yM=

y1+y2

2

=

48m

16m2+25

（9分）
∴S△DEM=

1

2

|

OE

||yM|=

1

2

×3×

48|m|

16m2+25

=

72|m|

16m2+25

=

72

16|m|+ 25 |m|

（10分）
∴当16|m|=

25

|m|

，即m=±

5

4

时，16|m|+

25

|m|

≥40，S_△DEM最大值为

9

5

．（12分）

点评：本题是中档题，考查向量的数量积，三角形的面积公式，韦达定理，基本不等式的应用，考查计算能力，转化思想，常考题型．