Question

7．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的半焦距为c（c＞0），左焦点为F，右顶点为A，抛物线${y^2}=\frac{15}{8}（a+c）x$与椭圆交于M，N两点，若四边形AMFN是菱形，则椭圆的离心率是（　　）

• A． $\frac{8}{15}$
• B． $\frac{4}{15}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 根据菱形的性质，求得M的横坐标，代入抛物线方程和椭圆方程，根据椭圆的性质．即可求得椭圆的离心率．

解答 解：由题意知，椭圆的左焦点为F（-c，0），右顶点为A（a，0），由四边形AMFN是菱形，
∴M、N两点的横坐标为x=$\frac{a-c}{2}$，将x代入抛物线中得：y²=$\frac{15}{16}$（a²-c²），
将M、N两点的横坐标代入椭圆方程中可得：$\frac{（a-c）^{2}}{4{a}^{2}}+\frac{15}{16}\frac{（{a}^{2}-{c}^{2}）}{{b}^{2}}=1$，
由b²=a²-c²，则$\frac{（a-c）^{2}}{4{a}^{2}}$=$\frac{1}{16}$，得$\frac{a-c}{a}$=$\frac{1}{2}$，即1-e=$\frac{1}{2}$，则e=$\frac{1}{2}$，
∴椭圆的离心率为e=$\frac{1}{2}$，
故选：D．

点评 本题考查椭圆及抛物线的方程，椭圆的简单几何性质，考查计算能力，属于中档题．