Question

已知离心率为e的双曲线和离心率为

2

2

的椭圆有相同的焦点F₁、F₂，P是两曲线的一个公共点，∠F₁PF₂=

π

3

，则e等于（　　）

• A、

  5

  2

• B、

  5

  2

• C、

  6

  2

• D、3

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用椭圆、双曲线的定义，求出|PF₁|，|PF₂|，结合∠F₁PF₂=

π

3

，利用余弦定理，建立方程，即可求出e．

解答： 解：设椭圆的长半轴长为a₁，双曲线的实半轴长为a₂，焦距为2c，|PF₁|=m，|PF₂|=n，且不妨设m＞n，
由m+n=2a₁，m-n=2a₂得m=a₁+a₂，n=a₁-a₂．
又∠F1PF2=

π

3

，∴4c2=m2+n2-mn=a12+3a22，
∴

a 2 1

c2

+

3 a 2 2

c2

=4，即

1

( 2 2 )2

+

3

e2

=4，
解得e=

6

2

，
故选：C．

点评：本题考查椭圆、双曲线的定义与性质，考查余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．